Materi Persamaan : Persamaan Kuadrat dan Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

July 19, 2017
1. Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat:


ax2 + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R
Dengan: 
x adalah variabel dari persamaan kuadrat 
a adalah koefisien x2
b adalah koefisien x
c adalah konstanta

2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Ada 3 cara untuk menyelesaikan soal-soal yang berbentuk persamaan kuadrat yakni:
a. Memfaktorkan
    ax2 + bx + c = 0, a≠0 dapat diuraikan menjadi: (x - x1) (x - x2) = 0
b. Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
    Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 adalah:
c. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah dengan  mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Bentuk umum persamaan kuadrat berbentuk kuadrat sempurna adalah

(x+p)2 = q, dengan q > 0

3.  Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0 dapat ditentukan oleh nilai diskriminan D = b2 - 4ac 
a. Kedua akar nyata dan berlainan (x1 ≠ x2)  <=> D > 0
b. Kedua akar nyata dan sama (x1 = x2) <=> D = 0
c. Kedua akar tidak nyata (imaginer) <=> D < 0
d. D = k2, dengan k2= bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a≠0 dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.
Dari rumus:
dapat diperoleh:

x1 + x2 =-b/a dan x1.x2 = c/a

Rumus-rumus lain yang dapat digunakan adalah


5. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

a. Syarat mempunyai dua akar positif


b. Syarat mempunyai dua akar negatif


c. Syarat mempunyai dua akar berlainan tanda


d. Syarat mempunyai dua akar berlawanan


 e. Syarat mempunyai dua akar berkebalikan




Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat


Berikut beberapa contoh soal yang diselesaikan dengan 3 cara di atas:
 
1. Memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0, a≠0 dapat diuraikan menjadi: (x + x1) (x + x2) = 0
Hal yang perlu diingat dalam memfaktorkan adalah akan dicari 2 bilangan yang merupakan faktor dari c mewakili nilai x1 dan x2 dimana jika x1+ x2 = b dan x1 . x2 = ac.
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut:
1) x2 - x - 20 = 0
2) x2 + 7x + 12 = 0
Penyelesaian:
1) x2 - x - 20 = 0
Akan dicari 2 bilangan yang merupakan faktor dari 20 yang jika dijumlahkan hasilnya -1 dan dikalikan hasilnya -20.
Faktor dari 20: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20
Dari faktor di atas yang memenuhi adalah -5 dan 4 sehingga:
x2 - x - 20 = 0
(x - 5) (x + 4) = 0
x= 5 atau x = -4 
Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah x1 = 5 dan x2 = -4 
2) x2 + 7x + 12 = 0
Akan dicari 2 bilangan yang merupakan faktor dari 12 yang jika dijumlahkan hasilnya 7 dan dikalikan hasilnya 12.
Faktor dari 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
Dari faktor di atas yang memenuhi adalah 3 dan 4 sehingga:
x2 + 7x +12 = 0
(x + 3) (x + 4) = 0
x= -3 atau x = -4 
Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah x1 = -3 dan x2 = -4

 
Baca Juga:

Materi Lengkap : Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat



2. Menggunakan Rumus abc


Dengan menggunakan contoh di atas maka:
1)  x2 - x - 20 = 0 dengan a = 1, b = -1 dan c =-20

2) x2 + 7x + 12 = 0 dengan a = 1, b = 7 dan c =12

 
3. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, yakni: (x + p)2 =q
Contoh soal  :
x2- 6x - 7 = 0  ------> Bentuk ini diubah menjadi:
x2- 6x - 7 + 16 = 0  + 16
x2- 6x + 9 = 16
(x - 3)2 = 16
x - 3 = ±4
x = 4 + 3 = 7 atau
x = -4 + 3 = -1

Semoga Bermanfaat
loading...

Artikel Terkait

Previous
Next Post »