Materi Matematika: Irisan Kerucut Lengkap

July 17, 2017
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan Hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.

Geometri

Geometri irisan kerucut dan jenis-jenisnya
Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jenis-jenis irisan kerucut

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola

Definisi

Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
  • Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
  • Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)
Luas lingkaran = π.r2 (r = jari-jari)
Contoh gambar:
Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2

Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.
  • Titik itu disebut fokus/titik api (F)
  • Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
  • Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
  • Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
  • Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri
Contoh gambar:
Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

Elips
(1) Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.
  • Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
  • Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c
(2) Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1
  • Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
  • Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor
  • Pusat elips adalah titik tengah F1 dan F2
  • Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor
Luas Elips = π.a.b  (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal)
Contoh gambar:
Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

Hiperbola
(1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap
  • Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
  • Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c
(2) Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1
  • Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2)
  • Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
  • Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P)
  • Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
  • Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
  • Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum
Contoh gambar:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0),  dan asimtot y = ± ½√2 x

Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6),  dan asimtot y = ± ½√2 x

 Baca Juga:

Materi Matematika : Trigonometri Lengkap

 

Persamaan


Tips!
Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:
  • Pada persamaan Lingkaran: koefisien x2 dan y2 sama
  • Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x2 saja atau y2 saja)
  • Pada persamaan Elips: koefisien x2 dan y2 bertanda sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif)
  • Pada persamaan Hiperbola: koefisien x2 dan y2 berbeda tanda (salah satu positif, yang lain negatif)
Contoh:
  • 3x2 + 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
  • 3x2 + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
  • 3x2 + y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Elips
  • 3x2 – 3y2 + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola

Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:
  1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
  2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:
→    Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut
→    Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut
→    Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut
Contoh:
Tentukan kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x2 + y2 + 6x + y = 5
Cara:
3x2 + y2 + 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.52 + (–1)2 + 6.5 + (–1) – 5  = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut

Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:
  1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
  2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.
  3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b2 – 4.a.c)
→    Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut
→    Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik
→    Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik
Contoh:
Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x2 + 3y + 6x = 5
Cara:
Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)2 + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y2) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y2 + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y2 – 57y + 67 = 0
D = b2 – 4.a.c = (–57)2 – 4.12.67 = 33
Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung dengan gradien m

Persamaan garis singgung pada titik (x1, y1)
→ selalu gunakan sistem bagi adil:
(…)2 menjadi (…).(…)
(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)
Pada salah satu (…) akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui
→ masukkan titik ke persamaan hasil bagi adil
  1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung
  2. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar
Potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik potong
Masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung
 


Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (2, 1)
Cara:
(2, 1) terletak pada lingkaran (22 + 12 + 4.2 = 13)
Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x1 dan y1:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung

Contoh 2:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (4, 1)
Cara:
(4, 1) terletak di luar lingkaran (42 + 12 + 4.4 = 33 > 16)
Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (4, 1) sebagai x1 dan y1:
4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9
6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar
y = 1 – 6x
Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran:
x2 + (1 – 6x)2 + 4x – 13 = 0
x2 + 1 – 12x + 36x2 + 4x – 13 = 0
37x2 – 8x – 12 = 0
Gunakan rumus abc:

Masukkan (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan hasil bagi adil
loading...

Artikel Terkait

Previous
Next Post »