Materi Lengkap : Ruang Vektor Umum dan Subruang Vektor

July 19, 2017


5.1   Ruang Vektor Real
Definisi :
          V adalah suatu himpunan takkosong dari objek-objek sebarang, dimana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian. Jika aksioma-aksioma berikut  dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka kita menyebut objek-objek pada V sebagai vektor.

  1. Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka u + v berada pada V
  2. u + v  = v + u
  3. u + (v + w) = (u + v) + w
  4. Di dalam V  terdapat suatu objek 0 yang disebut vektor nol (zero vector) untuk V, sedemikian rupa sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V
  5. Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif dari u sedemikian rupa sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
  6. Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V, maka ku terdapat pada V
  7. k(u + v) =k u + kv
  8. (k + l)u = ku + lu
  9. k(lu) = (kl)u
  10. 1u = u
Teorema 5.1.1
a)     0u = 0
b)     k0 = 0
c)    (-1)u = -u
d)   Jika  ku = 0, maka k = 0 atau u =
 

Bukti (a)
Kita dapat menulis
0u + 0u = (0 + 0) u
            = 0u
Berdasarkan Aksioma 5, vektor  0u memiliki bentuk negatif, -0u. Dengan menambahkan negatifnya ini pada kedua ruas di atas akan menghasilkan
            [0u + 0u] + (-0u) = 0u + (-0u)
            atau
            0u + [0u + (-0u)] = 0u + (-0u)
            0u + 0 = 0
            0u = 0
Bukti (B)
Kita dapat menulis
k0 + ku = k (0 + u)
    = ku
Karena ku berada pada V, -ku berada pada V
Oleh karena itu :
                        (k0 + ku) + (-ku)  = ku + (-ku)
                        k0 + ( ku + (-ku) )= ku + (-ku)
                                    k0 + 0  = 0
                                    k0        =
Bukti (c)
            Untuk menunjukkan (-1)u = -u, maka harus diperlihatkan bahwa u + (-1)u = 0.
            u + (-1)u = 1u + (-1)u
                                    = (1 + (-1))u
                                    = 0u
                                    =0


5.2 SUBRUANG VEKTOR

Definisi
            Suatu subhimpunan W dari suatu ruang V disebut subruang (subspace) dari V jika W itu sendiri merupakan suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. 
Teorema 5.2.1
            Jika W adalah suatu himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari sutu ruang vektor V, jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi,
a)       Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v berada pada W
b)      Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah vektor sebarang pada W, maka ku berada pada W

 Subruang dari Mnn
            Dari teorema bahwa jumlah dari dua matriks simetrik adalah matriks simetrik pula, dan suatu perkalian skalar dari suatu mtriks simetrik adalah simetrik pula. Jadi, himpunan matriks simetrik n x n adalah subruang dari vektor Mnn yang terdiri dari semua matriks n x n. Demikian juga, himpunan matriks segitiga atas n x n, himpunan matriks segitiga bawah n x n, dan himpunan matriks  diagonal n x n semuanya membentuk subruang dari Mnn , karena setiap himpunan ini tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. 
Teorema 5.2.2
            Jika Ax = 0 adalah  suatu sistem linear homogen yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, maka himpunan vektor solusi adalah suatu subruang dari Rn .
Bukti
            Misalkan W adalah himpunan vektor solusi. Terdapat paling tidak terdapat satu vektor pada W, yaitu 0. Untuk menunjukkan bahwa W adalah tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, maka harus ditunjukkan bahwa  jika x dan x’ adalah vektor solusi sebarang dan k adalah skalar sebarang, maka x + x’ dan kx adalah juga merupakan vektor solusi. Tetapi jika x dan x’ adalah vektor solusi, maka
            Ax = 0 dan Ax’ = 0
di mana selanjutnya
            A(x + x’) = Ax + Ax’ = 0 + 0 = 0
dan      A(kx) = kAx = k0 = 0
yang membuktikan bahwa x + x’ dan kx adalah vektor solusi 
 
 
Definisi
            Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear ( linear combination) dari vektor-vektor    V1,V2,…., Vr   jika dapat dinyatakan dalam bentuk
W = k1 v1 + k2 v2 +. . . + kr vr
dimana k1, k2,. . . , kr adalah skalar 
Teorema 5.2.3
            Jika v1, v2,. . . , vr adalah vector-vektor pada suatu ruang vector V, maka :
a)   Himpunan W yang terdiri dari semua kombinasi linear v1, v2,. . . , vr  adalah suatu subruang dari V
b)   W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2,. . . , vr dalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2,. . . , vr  pasti mengandung W.
 Bukti (a)
Untuk menunjukkan bahwa W adalah subruang dari V, maka harus dibuktikan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar. Terdapat paling tidak satu vector pada W, yaitu 0, karena 0 = 0v1 + 0v2 +. . . + 0vr. Jika u dan v adalah vector-vektor pada W, maka
                        u = c1v1 + c2v2 + … +crvr
            dan
                        v = k1v1 + k2v2 + … +krvr
            dimana c1, c2,…, cr, k1, k2,…, kr adalah skalar. Oleh karena itu,
u + v =( c1 + k1) v1 + (c2 + k2) v2 +…+(cr + kr) vr
dan, untuk skalar sebarang k,
ku = (kc1)v1 + (kc2)v2 +…+ (kcr)vr
Jadi, u + v dan ku adalah kombinasi- kombinasi linear dari v1, v2,. . . , vr  dan sebagai konsekuensinya terletak pada W. Oleh karena itu, W adalah tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar.
Bukti (b)
Setiap vector vi adalah suatu kombinasi linear dari v1, v2,. . . , vr  karena dapat dituliskan
vi = 0v1  0v2 +…+1vi + 0vr
            Oleh karena itu, subruang W mengandung setiap vector v1, v2,. . . , vr  . Misalkan W’ adalah subruang lain sebarang yang mengandung v1, v2,. . . , vr . Karena W’ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar, W’ pasti mengandung semua kombinasi linear  v1, v2,. . . , vr . Jadi, W’ mengandung setiap vector dari W.
Definisi
            Jika S = { v1, v2,. . . , vr  } adalah suatu himpunan vector-vektor pada suatu ruang vector V, maka subruang W dan V yang terdiri dari semua kombinasi linear vector-vektor pada S disebut sebagai ruang yang direntang (space spanned)  oleh v1, v2,. . . , vr  dan vector-vektor v1, v2,. . . , vr  merentang (span) W. Untuk menyatakan bahwa W adalah ruang yang direntang oleh vector-vektor pada himpunan S = { v1, v2,. . . , vr  } kita menuliskan
W = rentang (S) atau W = rentang { v1, v2,. . . , vr  }
Teorema 5.2.4
            Jika S = {v1, v2,. . . , vr  } dan S’ = {w1, w2,. . . , wr  } adalah dua himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor V maka
 rentang {v1, v2,. . . , vr  } = rentang {w1, w2,. . . , wr  }
Jika dan hanya jika setiap vektor pada S adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada S’ dan setiap vektor pada S’ adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor  pada S.


Demkian Semoga Bermanfaat
loading...

Artikel Terkait

Previous
Next Post »