Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur) dan Contohnya

July 19, 2017
Pada kesempatan ini, Maribelajar.club akan membahas tentang barisan dan deret geometri dimana sebelumnya telah dibahas tentang barisan dan deret aritmetika beserta contoh soalnya. Apa itu barisan geometri?

Barisan Geometri

Suatu barisan U1 , U2 , U3 ,..., Un disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap, perbandingan antara dua suku yang berurutan itu disebut pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan "r". Jadi:
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah
U1  = a
U2  = ar
U3  = ar2
...
Un  = arn-1 
Bentuk  Un  = arn-1 merupakan bentuk umum barisan geometri.




Contoh :
1.   Diketahui barisan geometri : 2, 4, 8, 16, ... Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku-n dan suku ke-7.
Jawab :
Suku pertama (U1) = a = 2
Rasio (r) = 2
Rumus suku ke-n : Un = arn-1
                                     = 2.2n-1
                                     = 2n
Suku ke-7 (U7) = 27 = 128
2.      Diketahui suatu barisan geometri dengan a = 128 dan r = ¼. Tuliskan barisan geometri tersebut hingga lima suku pertamanya.
Jawab :
U1 = a = 128
U2 = ar =128.1/4 = 32
U3 = U2r = 32.1/4 = 8
U4 = U3r = 8.1/4= 2
U5 = U4r = 2.1/4= 1/2
Jadi barisan geometri tersebut adalah 128, 32, 8, 2, 1/2



Suku Tengah Barisan Geometri :
Misalkan suatu barisan geometri dengan banyak suku ganjil, sebesar  n = 2t – 1 dengan t ≥ 2. Suku tengah barisan geometri tersebut adalah suku ke – t dan ditentukan dengan rumus
Contoh :
Diberikan barisan geometri 2, 4, 8, ..., 2048. Tentukan :
a.       Suku tengahnya.
b.      Suku ke berapakah suku tengahnya.
c.       Banyak suku barisan tersebut.
Jawab :
a.       Misal banyak suku barisan tersebut adalah 2t – 1, a = 2, r = 2 dan Un = U2t – 1 = 2048
Suku tengahnya Ut = 64
b.      Ut           = 64
a.rt – 1     = 64
2.2t – 1    = 64
2t            = 26
t              = 6 Jadi suku tengah merupakan suku ke – 6.
c.       Banyak suku barisan tersebut adalah 2t – 1 = 2.6 – 1 = 11.
Sisipan Barisan Geometri :
Di antara dua bilangan x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Rasio barisan bilangan yang terbentuk adalah
Contoh :
Di antara bilangan 3 dan 2187 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Tentukan rasio dari barisan yang terbentuk.
Jawab :
Rasio r = 3

Baca Juga:

MATERI LENGKAP: Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung) Beserta Soal dan Pembahasan






Deret Geometri (Deret Ukur)

Arti dari deret geometri adalah penjumlahan dari semua suku-suku barisan geometri secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret geometri adalah:
a + ar + ar2 + ... + arn-1
Jumlah n suku pertama deret geometri (Sn ) dirumuskan sebagai:
Hubungan antara barisan (Un ) dan deret geometri (Sn)
Un  = Sn  - Sn-1  
Sisipan Barisan Geometri
Misalkan diketahui barisan U1 , U2 , U3 ,...,Un . Apabila di antara dua suku yang berurutan disisipkan k buah suku baru sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka:
1. Rasio baru (r')
2. Banyaknya suku baru (n')
n' = n + (n - 1)k
3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn')


Contoh :
1.      Tentukan jumlah 10 suku pertama deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ...
a = U1 = 3
r = 2
S10  = 3.069
2.      Suatu deret geometri dinyatakan 2 + 22 + 23 + ... + 2n = 510. Carilah nilai n.
Jawab :
a = U1 = 2
r = 2
Sn   = 510
510 = 2n+1 – 2
512 = 2n+1
29   = 2n+1 ® n+1= 9 ® n = 8
 
C.  Deret Geometri Tak Hingga
     Amati gambar berikut! Apa pendapatmu tentang gambar tersebut? Jelaskan!
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku – sukunya tak hingga.             S~  = U1 + U2 + U3 + ... = a + ar + ar2 + ... Deret geometri tak hingga terdiri atas dua jenis yaitu konvergen dan divergen.
Jika deret geometri tak hingga dengan – 1 < r < 1 maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen) yaitu
      di mana
S~ = jumlah deret geometri tak hingga
a   = suku pertama
r   = rasio.
Contoh :
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + 0,5 + ...
Jawab :
a = 2, r = 0,5 (konvergen).
S~ = 4
       Jika r ≤ - 1 atau r ≥ 1 maka deret geometrinya tak hingga akan divergen yaitu jumlah suku – sukunya tidak terbatas atau tidak menuju bilangan tertentu.
Contoh :
Deret geometri tak hingga divergen :
a.       – 2 + 4 + (- 8) + 16 + ...  mempunyai rasio r = - 2 < 1 sehingga tidak mempunyai limit jumlah.
     b.      5 + 15 + 45 + 135 + ... mempunyai rasio r = 3 > 1 sehingga tidak mempunyai limit jumlah.

Sekian dulu postingan "Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur)" kali ini, mudah-mudahan bisa dipahami sehingga mempermudah kalian menjawab soal terkait.
loading...

Artikel Terkait

Previous
Next Post »